Contar el Infinito

La semana pasada hablamos de los números. En particular mencionamos que los números naturales (1, 2, 3…), que nos sirven para contar, son suficientes para cualquier conjunto finito de cosas, aunque este sea enorme, como la totalidad de estrellas del universo. Pero también cuentan conjuntos infinitos. Esto es una de las disonancias que producen los conceptos matemáticos cuando se desarrollan más allá de lo cotidiano. ¿Cómo contar un conjunto infinito, si al intentarlo jamás acabaríamos de hacerlo? La respuesta es simple: contar no significa necesariamente hacerlo de uno en uno. Esto tiene que ver con dos conceptos aristotélicos: la potencia y el acto. Contar de uno en uno implica concebir la totalidad de los números como algo a lo que se llega en potencia, sin llegar en efecto. La alternativa es concebir esta totalidad en acto, o dicho de otra manera, de un solo golpe

Concebir al infinito de un golpe parece cosa de Gandalf o de Dumbledore. En tal caso el conjuro podría ser ¡ad unum correspondentia! que significa correspondencia uno a uno, o función biyectiva. Es este concepto matemático el que nos permite contar en acto cualquier conjunto.

Por ejemplo, la correspondencia que asocia a cada número natural con su doble nos permite afirmar que hay tantos números naturales como números pares. De hecho es este suceso singular el que define a los conjuntos infinitos, como aquellos que pueden hacerse corresponder en forma biyectiva con una parte estricta. Esto es imposible para cualquier conjunto finito, donde se cumple la máxima "el todo es mayor que la parte". Para un conjunto infinito, el todo puede ser igual a la parte.

Otro ejemplo resulta también sorprendente. Pensemos en todos los números racionales, los famosos quebrados, o fracciones. Esto equivale a pensar en todas las posibles maneras de dividir la unidad, y en cualquier número de dichas partes. Con esto podríamos tener la sensación clara de que los quebrados son muchísimo más que los naturales. Sin embargo, existe una manera ingeniosa de hacer corresponder a las fracciones con los números naturales. Cada fracción puede pensarse como una pareja de números naturales, y por tanto como un punto con coordenadas en una cuadrícula infinita (ver figura). Comenzando en el punto que se encuentra en la esquina inferior izquierda, este tiene coordenadas (1,1) y representa a la unidad. El punto que le sigue hacia arriba tiene coordenadas (1,2) y representa a la fracción ½. Siguiendo la curva roja, pasaríamos por el punto (2,1) que representa el entero 2. Así podemos seguir hilando todos los puntos, "bordando" diagonalmente, como ilustra la figura (posiblemente descartando fracciones que ya tomamos en cuenta). De esta forma estamos contando las fracciones con los números naturales. Esto demuestra que ambos conjuntos tienen el mismo "número" de elementos.

 ¿Pero es que hay conjuntos infinitos que no tienen el mismo número de elementos? No se pierda nuestro próximo episodio…